Définition

Deux droites perpendiculaires se coupent en formant un angle droit.

Reconnaître deux droites perpendiculaires

Pour vérifier que deux droites sont perpendiculaires, on utilise un équerre. On vérifie que l’angle formé quand elles se coupent est un angle droit.

Tracer une perpendiculaire passant par un point donné

La position de l’équerre est très importante, tu dois mettre l’angle droit de l’équerre sur la droite donnée si tu veux tracer sa perpendiculaire.
Fais glisser ton équerre sur la droite jusqu’à ce que l’angle droit soit sur le point A.

• Tracer la perpendiculaire à (d) qui passe par le point A – A n’est pas sur le droite.

Quelques figures géométriques avec des segments perpendiculaires

• Le carré
Le segment AB est perpendiculaire au segment AD et BC
Le segment DC est perpendiculaire au segment AD et BC

• Le rectangle
Le segment AD est perpendiculaire au segment AB et DC
Le segment BC est perpendiculaire au segment AB et DC

Les droites parallèles

Définition

Deux droites parallèles sont deux droites qui ne se coupent jamais.

Reconnaître que des droites sont parallèles

Pour vérifier que deux droites d1 et d2 sont parallèles, on trace deux droites perpendiculaires (ici les deux droites noires) aux droites d1 et d2.
Si les droites sont parallèles, les segments en noirs foncés sur le dessin auront la même longueur car l’écart entre les droites rouges est toujours le même puisqu’elles ne se croisent jamais.

Quelques figures géométriques avec des segments parallèles

o Le parallélogramme
Le segment AD est parallèle à BC
Le segment DC est parallèle à AB

o Le carré
Le segment AB est parallèle à DC
Le segment AD est parallèle à BC

Conclusion :
Les droites perpendiculaires se coupent en formant un angle droit et les droites parallèles ne se coupent jamais.

Fractionner c’est partager une unité en part égale.

Cette bande correspond à une unité entière (on peut dire 1 u).

Je peux partager la bande en 4 parties égales.
Quand la bande est séparée en quatre on dit qu’elle est séparée en quart.

Je peux partager la bande en 2 parties égales.
Quand la bande est séparée en deux on dit qu’elle est séparée en demi.

Partage en demi et quart

On peut changer d’unité mais le vocabulaire reste le même :

L’unité n’est pas séparée, elle correspond à 1 unité entière.

L’unité est séparée en 4 parts égales, une partie de l’unité représente 1 quart = 1/4

L’unité est séparée en 2 parts égales, une partie correspond à 1 demi = 1/2

Si je prends un part sur les deux cela représente 1 demi ou 1/2

Si je prends deux parts sur les quatres cela représente 2 quarts ou 2/4

Fractionner c’est partager une unité en parts égales.
Cette bande correspond à une unité entière = 1 u.

Je peux partager la bande en 3 parties égales.
Quand la bande est séparée en trois on dit qu’elle est séparée en tiers.

Je peux partager la bande en 6 parties égales.
Quand la bande est séparée en six on dit qu’elle est séparée en sixième.

Tiers et sixième

Si je prends un part sur les trois cela représente 1 tiers = 1/3.

Si je prends deux parts sur les trois cela représente 2 tiers = 2/3.

Si je prends trois parts sur les trois cela représente 3 tiers = 3/3 = 1 u.

Si je prends deux parts sur les six cela représente 2 sixièmes = 2/6.

Égalités de fractions

Cette bande correspond à une unité entière = 1 u.

Dixièmes et centièmes

Je peux partager la bande en 10 parties égales : ce sont des dixièmes (grandes graduations).

Je peux partager la bande en 100 parties égales : ce sont des centièmes ( les petites graduations ).

Égalités fractionnaires

Dans la colonne des unités simples :
Une unité = 1
1 dizaine = Dix = 10
1 centaine = Cent = 100

Dans la colonne des milliers :
Une unité de mille = mille =1000
Une dizaine de mille = Dix mille = 10 000
Une centaine de mille = Cent mille= 100 000

Dans la colonne des millions :
Une unité de million = 1 million= 1 000 000
Une dizaine de million = Dix millions = 10 000 000
Une centaine de million = Cent millions = 100 000 000

Dans la colonne des milliards :
Une unité de milliard = 1 milliard = 1 000 000 000
Une dizaine de milliard = Dix milliards = 10 000 000 000
Une centaine de milliard = Cent milliard = 100 000 000 000

Passer du nombre dicté à l’ecriture chiffrée

On utilise le tableau : à connaitre par cœur , on cherche dans le nombre dicté , les mots million, mille pour se repérer dans le tableau.

Exemples :

Trente sept mille cinq cent quarante cinq = 37 545
On sait qu’il y a 37 unités de mille et 545 dans la colonne des unités simples.

Huit cent neuf mille cent deux = 605 102
On sait qu’il y a 809 unités de mille et 102 dans la colonne des unités simples.

Trois cent vingt deux millions sept cent deux mille deux cents = 322 702 200
On sait qu’il y a 322 unités de million, 702 unités de mille et 200 dans la colonne des u. s.

Quatre vingt milliards deux cent millions cinq cent cinq mille trois= 80 200 505 003
On sait qu’il y a 80 unités de milliard, 200 unités de million, 505 unités de mille et 003 dans la colonne des unités simples.

Problème relavant de la proportionnalité

• Le prix d’un bonbon dans une boulangerie est de 0.10 €

On voit que le problème fait appel à la proportionnalité car à partir du prix d’un bonbon, on peut trouver le prix de plusieurs bonbons. Le prix d’un seul bonbon est toujours 0.10 € (voir ci dessous les différentes méthodes pour résoudre le problème).

Problème ne relavant pas de la proportionnalité

• A la boulangerie, il y a des promotions sur les bonbons.

Le bonbon à l’unité coûte 0.10 €.
Pour 5 bonbons on paye 0.30 €. (Chaque bonbon coûte 0.06 €)
Pour 10 bonbons on paye 0.50 €. (Chaque bonbon coûte 0.05 €)

Ce problème ne fait pas appel à la proportionnalité car dans chaque cas le prix du bonbon à l’unité change.

Comment résoudre un problème de proportionnalité ?

• Problème 1 : Le prix d’un bonbon dans une boulangerie est de 0.10 €. Combien coûtent 2 bonbons, 10 bonbons et pour 20 bonbons.

a. On utilise un schéma

Un bonbon est représenté par un O

10 bonbons : c’est 5 paquets de 2 bonbons.
Comme on sait que 2 bonbons = 0.20 €, 10 bonbons c’est 5x plus cher donc 0.20 € x 5 = 1 €

20 bonbons : c’est deux fois plus que 10 bonbons donc le prix est deux fois plus grand.

20 bonbons coûtent donc 2 €.

b. On utilise le prix à l’unité

On utilise le prix à l’unité et on le multiplie pour obtenir le nombre demandé. On obtient le prix en multipliant par ce même nombre.

Le prix d’un seul bonbon est 0.10 €
Pour avoir 2 bonbons je multiplie 1 bonbon par 2 donc pour avoir le prix de deux bonbons je multiplie le prix d’un bonbon par 2.

2 bonbons = 2 x 0.10 € = 0.20 €

Pour 10 bonbons je multiplie le nombre de bonbon par 10 donc je multiplie le prix d’un bonbon par 10.

10 bonbons = 10 x 0.10 € = 1 €

Pour 20 bonbons je multiplie le nombre de bonbon par 20 donc je multiplie le prix d’un bonbon par 20.

20 bonbons = 20 x 0.10 € = 2 €

c. Le tableau de proportionnalité

Dans la première colonne, on met le nombre, dans la deuxième le prix .Si on multiplie par un nombre dans la colonne de droite, on doit multiplier par ce même nombre dans celle de gauche.

Conclusion :
En conclusion il y a trois façons pour résoudre un problème de proportionnalité, choisis celle qui te convient le mieux. Tu peux utiliser le schéma, le prix à l’unité ou le tableau de proportionnalité.

3,2 – 3,002 – 3,02

Méthode 1

On remarque que tous les nombres ont 3 unités, il faut donc regarder celui qui a le moins de dixièmes pour savoir lequel est le plus petit.

3,02 et 3,002 ont 0 dixième chacun . Pour savoir lequel est le plus petit il faut regarder les centièmes.

3,02 a 2 centièmes; 3,002 a 0 centième : c’est lui le plus petit !

3,002 < 3, 02 < 3, 2

Méthode 2

Rajouter des zéros à un nombre décimal ne change pas sa valeur : c’est le même nombre !

• 3,2 = 3, 200
• 3,02= 3,020
• 3,002

Maintenant que les trois nombres ont le même nombre de chiffres après la virgule on peut les comparer :

3,002 < 3, 020 < 3, 200 = 3,002 < 3, 02 < 3, 2

L’unité est 1 : entre 0 et 1 et 1 et 2 : il y une unité.
Les graduations correspondent à l’unité que l’on a séparée en 10 – ce sont donc des dixièmes : 1/10 = 0,1

L’unité : entre 0 et 1.

Les grandes graduations correspondent à l’unité que l’on a séparée en 10.
Ce sont donc des dixièmes : 1/10 = 0,1

Les petites graduations correspondent à l’unité que l’on a séparée en 100.
Ce sont donc des centièmes : 1/100 = 0,01

Exemple : placer 2, 1 ; 2, 5 ; 2,66 ;

Encadrer deux nombres décimaux entre deux nombres entiers

Encadrer un nombre décimal par deux nombres entiers c’est donner les deux unités entières qui s’en rapprochent le plus.

Exemples :

3,4 = 3 unités + 4/10
Il y a 3 unités entières et 4 morceaux d’une unité séparée en 10.
L’unité entière avant 3,4 est 3 et celle après et 4.
Donc 3 < 3,4 < 4

5, 95 = 5 unités + 9/10 + 5/100
Il y a 5 unités entières, 9 morceaux d’une unité séparé en 10 et 5 morceaux d’une unité séparée en 100.
L’unité entière avant 5, 95 est 5 et l’unité après est 6.
Donc 5 < 5,95 < 6